演習問題　その３

f(x)=(x-1)/(x+1)について、次の各問いに答えなさい。

１．第ｎ次導関数ｆのｎ回微分(x)を求めよ。
　　【解答】
        f(x)=1-2/(x+1)と変形できる。したがって、微分を繰り返すと
　　　　　f'(x)  = 2/(x+1)2
          f''(x) =-4/(x+1)3
          f'''(x)=12/(x+1)4
　　　　　　　　・
　　　　　　　　・
　　　　となるから、ｆのｎ回微分(x)は
　　　　　ｆのｎ回微分(x)=2･n!･(-1)n+1/(x+1)n+1

２．ｆのｎ回微分(0)をｎを用いて表現せよ。
　　【解答】
        ｆのｎ回微分(x)に、x=0を代入して
　　　　　　ｆのｎ回微分(0)=2･n!･(-1)n+1/(0+1)n+1
                           =2･n!･(-1)n+1

３．f(x)=(x-1)/(x+1)のマクローリン展開を求めよ。
　　【解答】
          f(0)   =(0-1)/(0+1)=-1
　　　　　f'(0)  = 2/(0+1)2=2
          f''(0) =-4/(0+1)3=-4
          f'''(0)=12/(0+1)4=12
　　　　であるから
          f(x)=-1 + 2/1!*x + (-4)/2!*x2 + 12/3!*x3 + ･････ + 2･n!･(-1)n+1/n!*xn
              =-1 + 2x -2x2 + 2x3+ ･････ + 2(-1)n+1xn