証明

背理法・対偶・場合わけ

(１)背理法
 
１、√12が無理数であることを証明せよ
　　　（証明）もしも√12が無理数でない、つまり有理数とすると
　　　　　　　　　　√12=q/pとおくことができる。ここでこの分数は約分されており、pとqは互いに素であるとする。
　　　　　　　両辺を２乗すると、12=q2/p2
　　　　　　　よって、12p2=q2
　　　　　　　左辺は偶数になるので、q2は偶数。奇数の２乗は奇数だから、したがって、qは偶数でなければならない。
　　　　　　　ここで、q=2q'とおくと、12p2=(2q')2
                                     12p2=4q'2
                                      3p2=q2
　　　　　　　右辺は偶数であるから、左辺は奇数×偶数、つまり、p2は偶数でなければならない。
　　　　　　　これはpとqが互いに素であることと矛盾する。
　　　　　　　ゆえに、√12を有理数としたことは誤りである。
　　　　　　　したがって、√12は無理数である。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（証明終わり）
 
２、１＋√2が無理数であることを証明せよ
　　　（証明１）1+√2が有理数であると仮定する
　　　　　　　　　　1+√2=p  (pは有理数)とおくと
　　　　　　　　　　　√2=p-1 ･･･�@
                �@の左辺は無理数、右辺は有理数になり、これは矛盾するから、1+√2は無理数である。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（証明終わり）

　　　（証明２）1+√2が無理数でない、つまり有理数であると仮定すると
　　　　　　　　　　1+√2=q/pとおくことができる。ここでこの分数は約分されており、pとqは互いに素であるとする。
　　　　　　　両辺を２乗すると、3+2√2=q2/p2
              したがって、2√2=q2/p2-3
                          2√2=(q2-3p2)/p2
                          2√2*p2=q2-3p2
              両辺を２乗して、8*p4=(q2-3p2)2
　　　　　　　左辺は偶数であるから、右辺の(q2-3p2)2は偶数になる。
              とすると、奇数2=奇数、偶数2=偶数であるから、q2-3p2は偶数である。
　　　　　　　p,qがそれぞれ偶数または奇数の場合を考えると
　　　　　　　　　　偶数2-3偶数2=偶数
　　　　　　　　　　偶数2-3奇数2=奇数
　　　　　　　　　　奇数2-3偶数2=奇数
　　　　　　　　　　奇数2-3奇数2=偶数
　　　　　　　の場合が考えられる。これによって、pもqも偶数の場合があることがわかる。
　　　　　　　これは、pとqが互いに素であることと矛盾する。
　　　　　　　したがって、1+√2は無理数である。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（証明終わり）

３、√2＋√3が無理数であることを証明せよ
　　　（証明）√2＋√3が有理数であると仮定する
　　　　　　　　√2＋√3=p (pは有理数)とおくと
　　　　　　　両辺を２乗して、5+2√6=p2
                2√6=p2-5
              左辺は無理数、右辺は有理数になり、これは矛盾するから、√2＋√3は無理数である。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（証明終わり）
 
４、４K＋３の形の素数が無限にあることを示せ
 
(２)対偶
 
(a)命題の対偶をのべよ
　　　命題　「Ａである→Ｂである」に対して、対偶は、「Ｂでない→Ａでない」
(b)その命題は真か、真ならば証明し、偽ならば反例を示せ
(c)命題の逆を述べよ
　　　命題　「Ａである→Ｂである」に対して、逆は、「Ｂである→Ａである」
(d)その逆命題は真か、真ならば証明し、偽ならば反例を示せ
 
 
１、abが無理数ならば、a,bの少なくとも一方は無理数である。
　　　（ａ）「abが無理数」の否定は、「abは有理数」
　　　　　　「a,bの少なくとも一方は無理数」の否定は、「a,bの両方とも有理数」であるから
　　　　　　対偶は、「a,bの両方が有理数ならば、abは有理数」

　　　（ｂ）「真」である。
　　　　　　（証明）a,bは有理数であるから、a=n/m,b=q/p(m,n,p,qは互いに素である整数)とおくと
　　　　　　　　　　　ab=n/m*q/p
                        =nq/mp
                    したがって、abは分数で表されるので有理数である。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（証明終わり）

　　　（ｃ）逆は、「a,bの少なくとも一方が無理数であるならば、abは無理数である」

　　　（ｄ）「偽」である。
　　　　　　（反例）a,bがともに無理数、例えば、a=√2、b=√2のとき、ab=2となり有理数になる。
　　　　　　　
２、a+b＞２ならば、(a>1)∨(b>1)である
 
３、a+b＞１ならば、(a>0)∨(b>0)である
 
ただしこれらの変数はすべて実数とする。
 
 
(３)場合わけ
 
１、任意の自然数ｎについて、ｎの３乗を６で割った余りと、ｎを６で割った余りは常に等しい。
 
２、次の覆面算は解を持たないことを示せ（覆面算では各文字がひとつの数字を表し、同一文字は同一の数字である。また各行の先頭の文字は０にはなれない。このような条件下で、正しい計算式を作るパズルの一種である）
　　　　A　B　C
 　＋　 A  B  C
―――――――――
     D　B　D　A